写在前面
最近组里项目需求做了一批压电传感器，同时搭档的研究方向也是压电相关，之前也做过一些电荷放大器，但是基本上是参照师兄的设计进行的，对电荷放大器的原理、计算和设计并不是非常熟悉，在这趁着进行新的电荷放大器设计，就正好整理下电荷放大器相关的内容。
什么是电荷放大器
电荷放大器是一种电荷对电压转换器。它主要用于连接压电换能器，包括基于压电换能器的多种传感器，如麦克风、加速度计、超声接收器和动压传感器。
电荷放大器的输出
依旧以图2为例进行计算。一级电荷放大器的电压输出$V_{O1}$满足：
$$ V_{O1}=\frac{Vcc}{2}-V_{Cf}=\frac{Vcc}{2}-\frac{q}{C_f} \tag{1} $$由此可以看出电荷放大器的电压输出与反馈电容$C_f$大小成反比，经电荷放大器放大后再经二级的反向放大器放大输出$V_O$:
$$ V_O=\frac{Vcc}{2}-(1+\frac{R_7}{R_8})\frac{q}{C_f} \tag{2} $$如果使用双轨运放，不进行输出偏置则有：
$$ V_{O1}=-V_{Cf}=-\frac{q}{C_f} \tag{3} $$$$ V_O=-(1+\frac{R_7}{R_8})\frac{q}{C_f} \tag{4} $$电荷放大器的带宽
电荷放大器的带宽主要由$R_f$和$C_f$组成的高通滤波器以及由$R_i$和$CP$组成的低通滤波器共同影响，类似一个带通滤波器。其下截止频率$f_L$：
$$ f_L=1/(2\pi R_fC_f) \tag{5} $$其上截止频率$f_H$:
$$ f_H=1/(2\pi R_i CP) \tag{6} $$电荷放大器的噪声
对于电荷放大器的噪声分析，需要使用更严密的电路模型，使用的模型如下图3所示：
其中加入了总输入电容$CT=CP+C_{cable}+C_{in}$，其中$CP$为压电换能器等效内部电容，$C_{cable}$为输入导线寄生电容，$C_{in}$为运放输入寄生电容。
噪声源
噪声来源主要有以下几点：
- 运放电压噪声$e_n$
- 运放电流噪声$i_n$
- 反馈电阻热噪声$i_{R_f}=\sqrt{\frac{4kT}{R_f}}$
噪声增益
对于电荷放大器有： 反馈网络阻抗：
$$ Z_f=R_f||\frac{1}{sC_f} \tag{7} $$输入网络阻抗:
$$ Z_{in}=R_i+\frac{1}{sC_T} \tag{8} $$当$R_i\ll \frac{1}{sC_T}$时，可以忽略掉$R_i$项，即$Z_{in}=\frac{1}{sC_T}$ 在低频下可以视作纯电容阻抗，RC网络的拐点频率为：$f_i=\frac{1}{2\pi R_iC_T}$ 电容的阻抗$X_C=\frac{1}{2\pi f C_T}$ 根据参数计算如果$\left| X_C \right| \ll R_i$则可将$R_i$忽略，这在常见的压电传感器的带宽范围内都是成立的。
那么噪声增益$NG$有：
$$ \boxed{NG=1+\frac{Z_f}{Z_{in}}\approx1+\frac{C_T}{C_f}} \tag{9} $$电压噪声的等效变换
运放的电压噪声$e_n$经过噪声增益后被放大为：
$$ e_{O,e_n}=e_nNG \tag{10} $$因为有：
$$ i=C\frac{dv}{dt} \tag{11} $$则有运放电压噪声产生的等效电流噪声：
$$ \boxed{i_{eq}=sC_T e_n=2\pi fC_Te_n} \tag{12} $$将其转换为等效输入电荷噪声：
$$ Q_{n,e_n}=C_Te_n \tag{13} $$运放电流噪声
输入电流噪声$i_n$流经反馈网络阻抗$Z_f$，产生：
$$ \boxed{V_{o,i_n}=i_nZ_f} \tag{14} $$展开有：
$$ V_{o,i_n}=i_n\frac{R_f}{1+sR_fC_f} \tag{15} $$低频下$R_f$占主导：
$$ V_{o,i_n}=i_nR_f \tag{16} $$高频下$C_f$占主导：
$$ V_{o,i_n}=i_n\frac{1}{sC_f} \tag{17} $$反馈电阻热噪声
反馈电阻热噪声的等效电流为：
$$ i_{R_f}=\sqrt{\frac{4kT}{R_f}} \tag{18} $$对输出的影响：
$$ \boxed{V_{o,R_f}=i_{R_f}Z_f} \tag{19} $$* 输入电阻热噪声
Ri产生热噪声电压：
$$ e_{R_i}=\sqrt{4kTR_i} \tag{20} $$在运放输入端，因此对输出的影响方式和运放噪声一样，经噪声增益放大：
$$ \boxed{V_{o,R_i}=e_{R_i}NG=\sqrt{4kTR_i}\left[1+\frac{sR_fC_T}{(1+sR_fC_f)(1+SR_iC_T)}\right]} \tag{21} $$总输出噪声
总输出为噪声平方和：
$$ V_{n,total}=\sqrt{V^2_{o,e_n}+V^2_{o,R_i}+V^2_{o,i_n}+V^2_{o,R_f}} \tag{22} $$噪声计算的化简/忽略项
| 条件 | 可忽略 |
|---|---|
| $f \ll 1/(2\pi R_i C_T)$ | $R_i$对噪声增益影响 |
| $f \gg 1/(2\pi R_f C_f)$ | $NG=1+C_T/C_f$(忽略$R_i$) |
| $i_nR_f \ll e_nNG$ | 忽略电流噪声 |
| $4kT/R_f \ll i^2_{n}$ | 忽略反馈电阻噪声 |
| $R_i \ll X_{C_T}$ | 输入网络视作纯电容网络 |
| $C_T \gg C_f$ | $NG \approx C_T/C_f$ |
电荷放大器设计
参考设计如下：
设计步骤
- 选择最高阻值的$R_f$来最小化噪声影响
- 计算低频截止$(f_{low})$下的$C_f$: $C_f=\frac{1}{2\pi R_f f_{low}}$
- 计算传感器电容$C_{sensor}$高频截止($f_{high}$)的输入电阻$R_{in}$: $R_{in}=\frac{1}{2\pi C_{sensor}f_{high}}$
- 计算电荷放大器的期望输出： $V_{out}=\frac{Q}{C_f}$
- 为了避免传感器可以在共振频率点上设置一个双T陷波器，同理，可以添加50Hz双T陷波器来抑制工频噪声干扰
- 二级运放将电荷放大器的输出信号缩放到目标区间
- 输出端高通滤波器设置或其它需求设置
设计要点
- 在放大器的线性工作区使用运算放大器
- 选择一个高反馈电阻$(Rf)$以尽量减少噪声影响
- 传感器的灵敏度随着电容的增加而提高，同时也会增加运算放大器的电压噪声增益。在选择传感器时必须考虑这种权衡。
- 为了尽量减小信噪比（SNR），选择输入电压噪声低、输入电流噪声低的放大器
- 低输入偏置电流和高输入阻抗可以最小化偏移误差，并提供合适的传感器接口。输出应实现轨到轨摆幅，以便在低单电源电压下实现简单偏置和大输出电压摆幅
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