写在前面
最近组里项目需求做了一批压电传感器，同时搭档的研究方向也是压电相关，在对传感器进行测试时发现经常会有50Hz工频信号的干扰，因此需要一个陷波器来滤除这个固定频率的干扰，在设计时学习了一些陷波器相关的内容，因此写在这里。或许后面也会写一篇电荷放大器的原理与设计。
什么是陷波器
陷波器是滤波器的一种，本质上就是一种专门抑制某一频率附近信号的滤波器。除了陷波器，常用的滤波器还有低通、高通、带通滤波器。Maybe以后会专门写一篇滤波器的Post（又挖坑乐）。
陷波器解决的问题
陷波器常用来抑制固定频率干扰，例如：
- 50/60Hz工频干扰
- KHz/MHz开关电源纹波
- 机械系统共振（谐振）
- 传感器激励串扰
- ADC窄带噪声 在这主要面对的问题就是传感器信号链中的50Hz工频干扰。
陷波器的频率响应
理想中的陷波器的幅频特性如下：
陷波器的传递函数
常见的二阶陷波器的传递函数为：
$$ H(s)=\frac{s^2+w_{0}^2}{s^2+\frac{w_0}{Q}s+w_0^2} $$在这：
- $w_0=2\pi f_0$：是陷波角频率
- $f_0$：是陷波中心频率
- $Q$：品质因素，决定了陷波的宽度 Q越高，陷波越窄，Q越低，陷波越宽。
品质因素Q的含义
陷波器也可以说是带阻滤波器，它并不是只抑制一个很窄的频点，而是抑制一个频带。 对于品质因素Q有：$Q=\frac{f_0}{BW}$ 其中：
- $f_0$：陷波中心频率。
- $BW$：陷波带宽。
滤波器的几种实现方式
无源陷波器
最常用的无源陷波器的结构为双T陷波器（Twin-T），由一个低通 T 网络和一个高通 T 网络并联组成，在某个频率点发生抵消。其基本结构见下图：
以下是对电路的分析：
- $V_{1}$：输入电压
- $V_4$：输出电压
- $V_2$：上方$C_1/C_2$中点
- $V_3$：下方$R_1/R_2$中点
在对电路进行分析时使用导纳代替阻抗：
- 电容导纳：$sC$
- 电阻导纳：$1/R$
对$V_2,V_3,V4$三个未知节点使用基尔霍夫电流定律进行分析：
对于电容中点电压$V_2$：
$$ sC_1(V_2-V_1)+sC_2(V_2-V_4)+\frac{V_2}{R_3}=0 $$对于电阻中点电压$V_3$：
$$ \frac{V_3-V_1}{R_1}+\frac{V_3-V_4}{R_2}+sC_3V_3=0 $$对于输出电压$V_4$（假设为悬空/后级输入阻抗无限大）：
$$ sC_2(V_4-V_2)+\frac{V_4-V_3}{R_2}=0 $$在这三个方程的基础上求解，就可以得到一般形式的传递函数了：
$$ H(s)=\frac{V_4}{V_1}=\frac{C_1C_2C_3R_1R_2R_3s^3+C_1C_2R_1R_3s^2+C_1C_2R_2R_3s^2+C_1R_3s+C_2R_3s+1}{C_1C_2C_3R_1R_2R_3s^3+C_1C_2R_1R_3s^2+C_1C_2R_2R_3s^2+C_1C_3R_1R_3s^2+C_2C_3R_1R_2s^2+C_2C_3R_1R_3s^2+C_1R_3s+C_2R_3s+C_3R_1s+1} $$得到的传递函数非常复杂，因此一般用对称设计来简化，一般取：
$C_1=C_2=C$,$C_3=2C$;$R_1=R_2=R$,$R_3=R/2$
代入后得到传递函数：
$$ H(s)=\frac{s^2+w_{0}^2}{s^2+4w_0s+w_0^2} $$其中，$w_0=\frac{1}{RC}$
所以其中心陷波频率为：$\boxed{f_0=\frac{1}{2\pi RC}}$
特别值得注意的是无源双T陷波器的Q值固定为1/4。这导致无源双 T 的陷波很宽，选择性不高。
问题
无源双T陷波器的Q值很低，陷波比较宽，而且通带损耗明显。
所以无源Twin-T虽然可以形成很深的理论陷波，但它不是一个高Q窄带陷波器。实际要做窄而深的陷波，通常会用有源Twin-T或状态变量滤波器。
无源双T陷波器还存在以下问题：
- 通带有插入损耗
- 前后级阻抗会影响陷波点
- 陷波深度强烈依赖R、C匹配
- Q值不可调
- 输出驱动能力弱
有源陷波器
有源T陷波器通常指在双T陷波网络Twin-T 的基础上加入运放反馈，使原本Q值较低、通带损耗较大的无源双T陷波器变成陷波更深、Q 值可调、输出阻抗更低的陷波器。
有源双T的设计思想
核心思想是引入运放的反馈来改变整个网络的阻尼。把一部分输出信号正反馈回Twin-T网络的参考端降低等效阻尼以提高Q值进而加深/变窄陷波。
有源双T的结构
相对于无源双T网络，有源双T就是在无源双T的基础上使用运放引入了正反馈，同时使用运放作为电压跟随器缓冲输出提供低输出阻抗。
有源双T的反馈路径
反馈运放将输出电压经过$R_4,R_5$分压后反馈至双T网络的公共节点：
$$ V_f=k V_{out} $$其中$k=\frac{R_5}{R_4+R_5}$为反馈系数，将$V_f$反馈至双T网络中间那个本来应该接地的点。
那么有源双T电路的传递函数可以表达为：
$$ \dot{H}(s)=\frac{\beta}{1+k(\beta-1)} $$其中，$\beta$是无源双T网络的传递函数，代入后可以得到：
$$ \dot{H}(s)=\frac{s^2+w^2}{s^2+4w_0(1-k)s+w_0^2} $$其中，$w_0=\frac{1}{RC}$,$\boxed{Q=\frac{1}{4(1-k)}=\frac{R_4+R_5}{4R_4}=\frac{1}{4}(1+\frac{R_5}{R_4})}$
通过前面提到的KCL分析也能得到一样的结论。 也就是通过改变$R_5/R_4$的比值即可改变有源双T陷波器的Q值。
问题
此外，有源双T本身也存在一些问题：
元件匹配决定陷波深度：虽然有源反馈可以提高 Q，但不能自动修正元件失配。要形成深陷波，仍然需要R和C的匹配，在实际中最好使用高精度电阻电容。
运放要适合这个频段：设计时需要注意运放的：输入失调点他、输入偏置电流、低频$1/f$噪声、输出摆幅、共模输入范围、输入输出能否接近地等。
高 Q 时容易出现稳定性问题：Q值的取值也并非越大越好，当$k$过于接近1时，电路阻尼过小，会出现下述问题：
- 陷波点非常尖，频率稍微漂一点就抑制不到
- 运放相位裕度不足时可能振荡
- 元件误差导致峰化
- 陷波频率两侧出现明显增益鼓包
- 瞬态响应变慢，有振铃
优点
有源双T结构对比无源双T结构具有很多优点：
- 输入到输出的通带增益接近1
- 输出有缓冲，驱动能力好
- 后级负载不容易破坏陷波特性
- Q值可以通过R4/R5调节
- 中心频率仍由R、C决定，设计直观
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