参考资料：

• The Transimpedance Amplifier [A Circuit for All Seasons]
• 跨阻型放大器应用指南
• 航天级100Krad、125KHz光电二极管跨阻放大器（TIA）电路
• Transimpedance Amplifier Noise Considerations
• Transimpedance Amplifiers(TIA):Choosing the Best Amplifier for the Job

写在前面

写这篇文章是因为项目需求需要设计光电转换，也自然就涉及到了TIA，在学习TIA的过程中发现TIA的拓扑结构和之前设计过的电荷放大器非常类似，或许后面会写一篇电荷放大器相关的文章，如果完成了会在这贴上链接。

什么是跨阻放大器（TIA）？

跨阻放大器 (TIA) 通常用于放大如光电二极管之类的电流传感器的输出。它将输入电流转换为输出电压，输出电压与输入电流成正比。TIA 的增益由反馈电阻决定。最简化的 TIA 由一个运算放大器和一个反馈电阻组成：

理想的TIA模型:(a)基本的TIA结构；(b)使用一个电阻将电流转化为电压。

TIA使用负反馈来稳定增益并提高线性度。输入电流通过反馈电阻产生一个电压，该电压被运算放大器放大并输出。由于负反馈，输入端的电压保持接近于零（虚地），使得输入电流完全通过反馈电阻转换为输出电压。

跨阻放大器的应用场景

跨阻放大器的主要功能为将微弱的电流转化为电压，例如光电流检测等：光通讯接口TIA；可穿戴PPG设备；精密UV光谱仪。

跨阻放大器的一些关键参数

对于跨阻放大器主要关心其增益，阻抗，带宽，噪声与频率响应。

跨阻放大器的增益

例如在开环增益为$A_{0}$的运算放大器中，输出电压$V_{out}$与输入电流$I_{in}$的关系为：$V_{out} = R_F/(1+A_0) = -A_{0} \cdot I_{in} \cdot R_F$，其中$R_F$是反馈电阻。增益R_T的推导过程为：

$$R_T = \frac{V_{out}}{I_{in}} = \frac{-I_{in}R_{in}A_0}{I_{in}} = -R_F\frac{A_0}{1 + A_0}$$

其中，当$A_0 \gg 1$时，$R_T \approx -R_F$。而在图(b)中，直接将$R_F$接入电流源也可以实现类似的效果，但是与跨阻放大器不同的是两者的输出阻抗不同，TIA体现为低阻抗，但直接接入$R_F$体现为高阻抗，这不利于后续的电路设计与信号传递。

跨阻放大器的阻抗

输入阻抗

同样的，在开环增益为$A_{0}$的运算放大器中，设输出电压$V_{out}=-A_0V_{-}$，其中$V_-$为反相输入端电压。那么其反馈电阻电流为$I_f=\frac{V_--V_{out}}{R_F}$，而由于输入电流基本流过反馈电阻$I_{in}\approx I_F$，代入则有：

$$I_{in}=\frac{V_--(-A_oV_-)}{R_F}=\frac{(1+A_o)V_-}{R_F}$$

那么就可以得到输入阻抗：

$$ Z_{in}=\frac{V_-}{I_{in}}\approx \frac{R_F}{1+A_o} $$

理想跨阻放大器的输入阻抗接近 0。实际的输入阻抗与开环增益有关，开环增益越大，输入阻抗越小。

考虑频率响应的输入阻抗

对于实际的运放，其运放开环增益会随着频率的升高而下降：$A_o(f)$ 那么对于输入阻抗而言：

$$ Z_{in}\approx \frac{R_F}{1+A_o(f)} $$

频率越高，$A_o(f)$越小，所以输入阻抗会上升。同时由于输入端常常会有光电二极管电容，运放输入寄生电容和PCB寄生电容影响的输入电容：$C_{in}=C_d+C_{opamp}+C_{pcb}$，这导致了在高频状态下输入节点不再是理想的虚地，进一步导致了带宽的降低、噪声增大以至于震荡。

输出阻抗

假设运放本身的开环输出阻抗为$Z_o$，在负反馈的影响下闭环输出阻抗会被环路增益降低：

$$ Z_{out,cl}\approx\frac{Z_o}{1+T} $$

其中，T为环路增益：$T=A_o\beta$ 对于跨阻放大器，其反馈系数$\beta$与输入源阻抗、反馈网络、输入电容有关，不像普通电压放大器那么直观。但是依然满足：负反馈越强，输出阻抗越低。 在低频时$A_o$较大，输出阻抗低；高频时$A_o$下降，输出阻抗就会上升。

跨阻放大器的带宽

一个用于光电流检测的常规的跨阻型运放的工作电路一般简化如下: 跨阻放大器的带宽不能只看反馈电阻$R_F$，它主要由这几个因素共同决定:

$$ R_F,C_F,C_{in}(C_S),GBW,A_o(f) $$

其中：

• $R_F$：反馈电阻，决定低频跨阻增益；
• $C_F$：反馈电容，决定补偿极点；
• $C_{in}$：输入总电容，包括传感器电容、运放输入电容、PCB寄生电容；
• $GBW$：运放增益带宽积。

理想跨阻带宽

理想跨阻放大器中，带宽只由$R_F$和$C_F$决定： 反馈网络中有$R_F||C_F$，则其反馈阻抗为：

$$ Z_F=R_F||\frac{1}{sC_F}=\frac{R_F}{1+sR_FC_F} $$

跨阻增益：

$$ \frac{V_{out}}{I_{in}}=-Z_F $$

其带宽由$R_F$和$C_F$形成的一个一阶低通滤波器决定：

$$ f_{-3dB}\approx\frac{1}{2\pi R_FC_F} $$

实际跨阻带宽

对于跨阻放大器，判断稳定性和带宽通常看噪声增益，而不是只看信号增益。噪声增益近似为：

$$ NG(s)=1+\frac{Z_F}{Z_{in}} $$

其中输入阻抗主要由输入电容决定：

$$ Z_{in}\approx \frac{1}{sC_{in}} $$

在加入$C_F$之前，反馈阻抗为：

$$ Z_F=R_F $$

则有：

$$ NG(s)=1+sR_FC_{in} $$

这说明噪声增益会随着频率的上升而上升，经验公式约为$+20dB/dec$。 这就会带来一个零点：

$$ f_Z=\frac{1}{2\pi R_FC_{in}} $$

在这个频率之后噪声增益将会明显地上升。

考虑反馈电容后的情况

加入反馈电容后：

$$ Z_F=R_F||\frac{1}{sC_F}=\frac{R_F}{1+sR_FC_F} $$

那么随着频率的增高，噪声增益会越来越趋于一个平台值：

$$ NG_{HF}\approx 1+\frac{C_{in}}{C_F} $$

反馈电容产生一个极点：

$$ \boxed{f_p=\frac{1}{2\pi R_FC_F}} $$

也就是跨阻增益的 −3dB-3dB−3dB 极点。由此可得：

• $C_{in}$：让噪声增益上升；
• $C_F$：让噪声增益停止上升；
• $C_F$：同时也限制了信号带宽。

工程角度下的估算

实际的工程中，反馈电容$C_F$取值常使用以下近似公式计算：

$$ C_F\approx \sqrt{\frac{C_{in}}{2\pi R_F · GBW}} $$

其中，GBW为运放的增益带宽积，单位为Hz。这个公式可以让 TIA 获得比较好的稳定性和相位裕度。对应的跨阻带宽近似为：

$$ \boxed{f_{-3dB}\approx \frac{1}{2\pi R_FC_F}\approx \sqrt{\frac{GBW}{2\pi R_FC_{in}}}} $$

这说明：TIA带宽与$R_F$和$C_{in}$的乘积成反比的平方根

即：

• $R_F$越大，带宽越低；
• $C_{in}$越大，带宽越低；
• 运放的$GBW$越大，带宽越高。

噪声计算

跨阻放大器噪声关心的是输入等效电流噪声 典型的TIA的噪声源有：

噪声来源	表现形式	备注
反馈电阻$R_F$热噪声	电流噪声	非常重要
运放输入电流噪声$i_{n}$	电流噪声	对大$R_F$、低频若信号很重要
运放输入电压噪声$e_n$	通过输入电容转成电流噪声	高频重要
传感器噪声	例如光电二极管的散粒噪声	取决于传感器
偏置电流噪声、$1/f$噪声	低频漂移/低频噪声	低频重要
PCB漏电、寄生电容、外部干扰等	工程噪声	实际中通常比较严重

在这主要分析反馈电阻$R_F$、运放输入电流$i_{n}$和运放输入电压$e_n$三者引起的噪声。

反馈电阻的热噪声

任何电阻都有热噪声。对于反馈电阻$R_F$，其电压噪声密度为：

$$ e_n,R_F=\sqrt{4kTR_F} $$

其单位为：$V/\sqrt{Hz}$ 对于TIA，我们将其等效为输入电流噪声：

$$ \boxed{i_{in},R_F=\sqrt{\frac{4kT}{R_F}}} $$

其单位为：$A/\sqrt{Hz}$ 其中，$k$为波尔茨曼常数，$k=1.38 \times 10^{-23}$, $T$为开尔文温度。 由此可得：$R_F$越大，带宽越低，输出更容易饱和，反馈电阻等效输入电流噪声也越小

运放输入电流噪声

运放反向输入端本身也有输入电流噪声：$i_{in,op}$，他直接叠加到输入信号的电流上：

$$ i_{in,op}=i_{in} $$

由此可得TIA的设计中优先选择低输入偏置电流、低输入电流噪声的FET/CMOS运放。

运放输入电压噪声

运放的输入电压噪声为：$e_n$，其单位为：$V/\sqrt{Hz}$，在普通的电压放大器中，这会直接表现为输入电压噪声。但是在TIA中，由于TIA输入端的输入电容：

$$ C_{in}=C_s+C_{opamp}+C_pcb $$

运放输入电压噪声会通过输入电容产生噪声电流：

$$ i_{in,C,e}(f)=e_n·2\pi fC_{in} $$

同时运放输入电压噪声会通过反馈电阻产生噪声：

$$ i_{e,R_F}=\frac{E_N}{R_F} $$

则有其总输入等效电流噪声：

$$ \boxed{i_{in,e}(f)=e_n\sqrt{(\frac{1}{R_F})^2+(2 \pi f C_{in})^2}} $$

这是在某一频率点$f$下的等效电流噪声密度，如果我们将$0-F$带宽范围内的结果整理成一个平均等效噪声密度的话，则有：

$$ i_{in,e}F=\frac{(e_n 2 \pi fC_{in})^2}{3} $$

其计算过程为：

$$ i_{in,e}F=\frac{1}{F}\int_{0}^{F}(2 \pi f C_{in}e_n)^2df $$

$$ =\frac{(2 \pi C_{in} e_n)^2}{F}\int_{0}^{F}f^2df $$

$$ =\frac{(e_n 2 \pi fC_{in})^2}{3} $$

那么带宽内平均噪声密度为：

$$ \boxed{i_{in,e}F=e_n\sqrt{(\frac{1}{R_F})^2+\frac{(2 \pi F C_{in})^2}{3}}} $$

可以得出结论：运放电压噪声引起的等效电流噪声随频率线性上升

输入总等效电流噪声

对于某一特定频点的总等效电流噪声为：

$$ \boxed{i_{n,total}(f)=\sqrt{{i}^2_{in,op}+\frac{4kT}{R_F}+(\frac{e_n}{R_F})^2+(2 \pi f C_{in}e_n)^2}} $$

而对于带宽内的平均噪声密度为：

$$ \boxed{I_{EQ}=\sqrt{{i}^2_{in,op}+\frac{4kT}{R_F}+(\frac{e_n}{R_F})^2+\frac{(2 \pi F C_{in}e_n)^2}{3}}} $$

其中： $I_{EQ}$：等效输入噪声电流，这个值在带宽$F<1/(2\pi R_FC_F)$内有效。 ${i}^2_{in,op}$：运放本身输入的电流噪声，算TIA的输入。 $e_n$：运放的输入电压噪声。 $F$：带宽，单位为$Hz$。 $k$：为波尔茨曼常数，$k=1.38 \times 10^{-23}$。 $T$：开尔文温度。

TIA设计步骤

以下图作为计算案例分析计算过程

光电二极管的传感器参数确定

主要需要确认的参数为： 案例中使用的型号为Hamamatsu的S1336-5BK: 二极管电容（$C_{PD}=65pF$）； 分流电阻（$R_{PD}=1G\ohm$）； 最大反向电流（$I_{PD(max)}=20uA$）。

跨阻增益计算

需要考虑两个因素：最大反向电流以及所需输出电压$V_{OUT(max)}$和$V_{OUT(min)}$。那么可以得到TIA的反馈电阻$R_F$：

$$ R_F=\frac{V_{OUT(max)}-V_{OUT(min)}}{I_{PD(max)}} $$

反馈电容器计算

反馈电容器和反馈电阻一同形成放大器频率响应中的一个极点（$f_P$）：

$$ f_P=\frac{1}{2 \pi R_F C_F} $$

在高于此极点频率时，电路的放大性能会明显下降。最大反馈电容的取值可以根据反馈电阻器值和所需要的带宽来决定：

$$ C_F \leq \frac{1}{2\pi R_F f_P} $$

偏置网络计算

光电二极管在直流处充当反向偏置二极管，因此运算放大器同相终端的增益为 1。所以，当光电二极管电流为$0A$时，$V_{OUT}=V_{Bias}$。如果$V_{Bias}$为0，当光电二极管电流为$0A$时，噪声增益为1的放大器会尝试生成$0V$输出，导致放大器饱和，且其带宽因饱和恢复时间而收到损耗。最好通过添加偏置电压来满足放大器的$V_{OUT}$要求，该电压默认TIA输出高于负电源轨的最大值$V_{OUT}$。同相输入的偏置由下述公式得出：

$$ V_{Bias}=\frac{V_{CC}\times R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}} $$

对于很多轨到轨输入/输出（RRIO）运算放大器，根据运行条件，典型摆幅限制范围为$30$至$60mV$，在一些情况下可以高达$200mV$。$200mV$的偏置电压（$V_{Bias}$）用来应对最坏的情况。 同时,电容器$C_B$与电阻器$R_{B2}$并联，以减少电阻分压器产生的噪声，并防止电源噪声影响放大器输出。选取$C_B$的值后可以得到转角频率：

$$ f_C=\frac{1}{2\pi \times(R_{B1}||R_{B2})\times C_B} $$

计算得出的转角频率应足够小，防止电源噪声传递到输出。

放大器增益带宽计算

计算出满足带宽设计要求所允许的最大反馈电容器值后，需要计算出电路保持稳定所需的运算放大器增益带宽。下图显示了重新绘制的电路版本，其中包含放大器的光电二极管结电容（$C_{PD}$）和放大器的差分输入电容（$C_D$）与共模输入电容（$C_{CM-},C_{CM+}$）。施加到同相输入端的偏置电压被视为交流接地。 由该图可得，$C_{PD}$，$C_D$和$C_{CM-}$是并联的，反相输入端得电容为：

$$ C_{IN}=C_{PD}+C_D+C_{CM-} $$

若要计算此设计的单位增益带宽（UGBW）要求，必须先确定$C_{IN}$。由于尚未选择具体的运算放大器，因此$C_D$和$C_{CM-}$目前尚不清楚，但10pF可以作为这些值之和的合理猜测。稍后可以替换为确切的值，以确认运算放大器是否合适。 然后代入$C_F$，$R_F$和$C_{IN}$解算目标运算放大器增益带宽（GBW）：

$$ GBW >\frac{C_{IN}+C_F}{2\pi \times R_F \times C_F^2} $$

运算放大器选择

设计要求中给出了电源电压和电流的要求。选择输入和输出电压范围要求以确保在所需信号幅度内进行线性运行。最后，放大器增益带宽计算一节计算了增益带宽要求。除了这些基本要求外，运算放大器对偏移电压、输入偏置电流和电压或电流噪声产生的误差可忽略不计。具有JFET或CMOS输入的运算放大器是最常用的类型，因为这些运算放大器的偏置电流通常比具有BJT输入器件的运算放大器低很多。输入电流噪声的减少，导致直流误差电压减少，噪声降低。由于斩波输入级的性质（即输入偏置电流并不恒定），应避免使用零漂移放大器等具有斩波输入的放大器。由于电荷注入，输入MOSFET斩波级会在输入端产生动态瞬态电流，这与实际的静态偏置电流不同，如果开关频率小于截止频率，可能导致电路输出出现瞬态。